Ajustement affine

Problème :

A partir de ces observations, comment choisir a et b pour que la relation Y = a X + b soit un modèle affine acceptable du phénomène étudié ?

Trouver a et b c'est réaliser un ajustement affine des observations.

Ici l'expérimentateur dispose des valeurs xi de la variable explicative.

Il peut choisir des tiges d'acier ayant telle teneur en carbone.

Il mesure alors la valeur yi de la résistance à la traction.

yi est la valeur observée de la variable expliquée.

Opérons d'abord de manière empirique en prenant comme modèle l'équation de la droite joignant les deux points correspondant à la 1ère et à la 10ème observations.

Cette droite a pour équation :

Y - 35.80 = ( X - 0.1 )

Ainsi, nous prenons comme modèle affine du phénomène étudié :

Y = 92.80 X + 26.52

A partir du modèle Y = 92.8 X + 26.52 calculons pour chaque valeur xi de la variable explicative, la valeur théorique = a xi + b ou valeur expliquée, prévue par le modèle :

ri = yi -

est le résidu du modèle : c'est l'écart entre la valeur observée yi et la valeur théorique, prévue par le modèle.

Enfin, ei = | ri | = | yi - | est l'erreur du modèle.

Il est aussi regrettable que le résidu soit positif ou négatif.

Observation X Y R E
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12		 0.10
0.30
0.15
0.60
0.70
0.20
0.30
0.15
0.55
0.60
0.20
0.40		 35.80
52.20
40.00
84.90
88.50
43.40
56.80
38.70
78.30
82.20
41.10
61.00		 35.80
54.36
40.44
82.20
91.48
45.08
54.36
40.44
77.56
82.20
45.08
63.64		 0
-2.16
-0.44
2.70
-2.98
-1.68
2.44
-1.74
0.74
0
-3.98
-2.64		 0
2.16
0.44
2.70
2.98
1.68
2.44
1.74
0.74
0
1.98
2.64

Remarquons que l'erreur : | ei | = | ri | = | yi - | est l'éloignement du point Mi par rapport à la droite D dans la direction de l'axe des ordonnées.

Si Y = 92.80 X + 26.52 est un modèle du phénomène pour chaque observation

yi = + ri

est la composante prévisible.

ri est la composante imprévisible.

ri est dû par exemple aux erreurs de mesure, ou au fait que l'on a négligé d'autres facteurs intervenant dans l'explication du phénomène ou que le modèle affine choisi ne soit pas le mieux adapté pour décrire ce phénomène.

ei est l'erreur absolue du modèle.