Le principe de la méthode des moindres carrés

Comment choisir un modèle affine rendant les ei = | ri | aussi petits que possible ?

En fait on essaiera de rendre aussi petite que possible une valeur d'une fonction des ei, comme Max ( ei ), le plus grand des ei.

ou ei la somme des erreurs ei

Les erreurs ei sont égales aux éloignements des points du nuage par rapport à la droite D dans la direction de l'axe des ordonnées.

Observation X Y R E E²
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12		 0.10
0.30
0.15
0.60
0.70
0.20
0.30
0.15
0.55
0.60
0.20
0.40		 35.80
52.20
40.00
84.90
88.50
43.40
56.80
38.70
78.30
82.20
41.10
61.00		 35.80
54.36
40.44
82.20
91.48
45.08
54.36
40.44
77.56
82.20
45.08
63.64		 0
-2.16
-0.44
2.70
-2.98
-1.68
2.44
-1.74
0.74
0
-3.98
-2.64		 0
2.16
0.44
2.70
2.98
1.68
2.44
1.74
0.74
0
1.98
2.64		 0
4.7
0.2
7.3
8.9
2.8
6.0
3.0
0.6
0
15.8
7.0
Somme 19.5 56.2

On a vu dans la leçon "Aspects Géométriques" qu'il existait une droite D et une seule par rapport à laquelle

est minimum.

Il s'agit de la droite d'ajustement linéaire de Y en X.

Le modèle obtenu en prenant comme modèle cette droite s'appelle l'ajustement affine de Y en X par la méthode des moindres carrés.

Nous montrerons que ce modèle Y = a X + b , a pour coefficient directeur :

a =

Cov ( X , Y ) = ( xi - ) ( yi - )

Cov ( X , Y ) est la covariance de X et Y

et sont les moyennes arithmétiques des valeurs de X et Y.

n est le nombre d'observations.

s² ( X ) = ( xi - )²

s² ( X ) est la variance de X.

b se calcule en écrivant que la droite d'ajustement de Y en X passe par le point moyen du nuage :

= a + b