Loi de Newton de refroidissement des corps : modèle exponentiel

Rappelons-nous la loi de Newton de refroidissement des corps :

La vitesse de refroidissement est proportionnelle à la différence de température entre le corps et l'air :

	t = temps
= - k ( T - )	T = température du corps
	= température de l'air

Cette équation différentielle admet pour solution les fonctions :

où C est une constante qui dépend des conditions initiales, et l une constante qui dépend du corps considéré.

Le modèle à adopter ici est de la forme :

Il convient donc de déterminer une fonction du type de celle de f , à partir des observations expérimentales dont nous disposons.

La variable expliquée est ici la température T du corps, et la variable explicative la date t .

Supposons que l'on ait obtenu un modèle de la forme :

A chaque valeur t_i fixée par l'expérimentateur, correspond une température mesurée T_i .

T_i est la valeur observée de la variable expliquée.

est la valeur théorique ou valeur expliquée par le modèle.

est le résidu du modèle.

Il s'agit de minimiser les erreurs :

On recherche un modèle :

qui rende minimum la somme des carrés des erreurs.

Ce problème admet une solution, mais conduirait à des calculs compliqués que nous n'exposerons pas ici.