Exercice 1 : Somme de lois uniformes

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes :

X de loi uniforme sur l'intervalle [ 1 , 3 ] et Y de loi uniforme sur l'intervalle [ 2 , 4 ]

1) Quelle est la densité du couple ( X , Y ) ?

f ( x , y ) =
  si x Î [ 1 , 3 ] et y Î [ 2 , 4 ]
f ( x , y ) =
 

si x Ï [ 1 , 3 ] ou y Ï [ 2 , 4 ]

2) Déterminer la fonction de répartition de Z = X + Y :

. si z < 3 ,

P ( Z £ z ) =

. si z > 7 ,

P ( Z £ z ) =

. si z Î [ 3 , 5 ] ,

P ( Z £ z ) =

 

. si z Î [ 5 , 7 ] ,

P ( Z £ z ) =

 

 

 

 

3) Z est-elle de loi uniforme ?

 

 

4 ) Calculer E ( Z ) =

 

.