Exercice 5 : Attente à un arrêt de bus

M. Dupont prend tous les jours l'autobus, aux environs de 8 h. Il sait que ce bus passe à intervalles de temps réguliers, mais il ne connaît pas la durée de ces intervalles.

La durée de son attente est donc une variable aléatoire X, de loi uniforme sur un intervalle [ 0 a ] , où a est inconnu.

Il a noté, pendant 20 jours, la durée de son attente : x₁ , x₂ ,... , x_n ( n = 20 ), et veut utiliser cet échantillon pour estimer a, durée maximale d'attente.

Puisque E ( X ) = ,

une idée naturelle est d'utiliser 2 pour estimer a.

â = 2 est-il un estimateur sans biais de a ?

Est-il convergent ?

2) Une autre possibilité, puisque a est la durée maximale de l'attente, est d'estimer a par

X_M = sup ( X₁ , X₂ ,... , X_n )

On peut démontrer que :

E ( X_M ) = a

X_M est-il meilleur que â ?

3) Puisque est le milieu de l'intervalle [ 0 a ], on peut aussi envisager d'utiliser comme estimateur

Y = X_M + X_m , où X_m = inf ( X₁ , X₂ ,... , X_n )

On peut démontrer que : E ( Y ) = a et

V ( Y ) =

Y est-il meilleur que â ?