I.2 - Test de Kolmogorov

I.2.1 - Cas d'une loi entièrement spécifiée, continue

Ce test est basé sur les résultats suivants :

La fonction de répartition empirique, F_n ( x ) d'un échantillon de loi F continue est telle que : suit une loi connue, qui ne dépend pas de F, et tabulée pour les petites valeurs de n.

Pour n tendant vers l'infini, tend vers une loi connue.

Le test de H₀ : F = F₀ , contre H₁ : F ¹ F₀ est basé sur la variable de décision

: écart maximal entre la fonction de répartition théorique et l'empirique.

La permet de conclure : on rejette H₀ si D_n est supérieur à la valeur critique lue dans la table.

Application : ajustement à une loi uniforme.

On a noté l'heure d'arrivée de 10 clients dans une boutique, entre 9 h et 10 h (en minutes après 9 h) : peut-on considérer qu'il s'agit d'un échantillon de loi uniforme ? (on ne met pas en doute l'indépendance des arrivées).

Les valeurs obtenues sont : 13 14 22 27 33 37 41 42 50 58 La fonction de répartition de la loi uniforme sur [ 0 , 60 ] est : pour 0 £ x £ 60 Dn =

La donne comme valeur critique :

pour a = 0.05 , D_a = ;

pour a = 0.01 , D_a =

Donc on l'hypothèse H₀ selon laquelle les arrivées sont uniformes ?

- Il faut noter que pour ce type de test, non paramétrique, on ne peut pas calculer b, ni la puissance 1 - b, car H₁ est trop vaste.

La comparaison de différents tests pour résoudre un même problème se fera à partir de calculs de puissances empiriques, vérifiés sur de nombreux exemples. Mais, comme toujours, la puissance d'un test est meilleure si n est grand.

- Si F₀ dépend d'un (ou plus) paramètre(s), estimés sur l'échantillon, il existe des variantes du test de Kolmogorov, adaptées à chaque type de loi, notamment :

I.2.2 - Cas de la loi normale

m est estimé par , et par s .

On rejette l'hypothèse H₀ selon laquelle X suit une loi N ( m , ) lorsque :

Dn > 0.895 au seuil a = 0.05 ou > 1.035 au seuil a = 0.01

ici car on compare une courbe en escalier à une courbe continue :

Exemple du contenu des 16 bouteilles :

= cl

s = cl

Compléter le tableau :

xi	i	Fn (xi) = i/n	F(xi) = P((xi - )/s)	F( xi) - i/n	F(xi) - (i-1)/n
75 75 75.3 75.5 75.6 75.8 75.8 75.9 76 76.1 76.1 76.2 76.3 76.4 77 77.2	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	0.0625 0.125 0.1875 0.25 0.3125 0.375 0.4375 0.5625 0.625 0.6875 0.75 0.8125 0.875 0.9375 1	0.062 0.062 0.146 0.233 0.285 0.404 0.404 0.532 0.596 0.596 0.657 0.715 0.767 0.956 0.979	-0.001 -0.063 -0.042 -0.017 -0.027 0.029 -0.034 -0.030 -0.029 -0.091 -0.093 -0.098 -0.108 0.018 -0.021	-0.001 0.021 0.045 0.035 0.091 0.029 0.032 0.034 -0.029 -0.030 -0.035 -0.045 0.081 0.041

D_n =

D_n =

Au risque a = 0.05, peut-on dire que le contenu des bouteilles suit une loi normale ?

Remarque :

Un logiciel utilisé sur ces données pour le test de Kolmogorov nous donne une probabilité de dépassement p = 0.992, bien supérieure à 1 - a = 0.95.

On aboutit donc à la même conclusion.