I.4 - Autres tests de normalité

Etant donné l'importance centrale de la loi de Gauss en statistique, de nombreux tests spécifiques ont été développés pour tester l'ajustement à une loi normale.

L'un des plus puissants est le test de Shapiro et Wilk : il découle directement du diagramme quantile-quantile : une mesure de l'alignement des points autour de la droite de Henry est une sorte de coefficient de détermination, carré d'un coefficient de corrélation entre les x_i et des coefficients a_i fournis pour une .

Ces a_i sont centrés et réduits : S a_i= 0 ; S = 1 ; donc le coefficient cherché s'écrit :

W₀, compris entre 0 et 1, vaut 1 si les points sont parfaitement alignés le long de la droite de Henry. Les valeurs critiques W_a pour W₀ sont dans la .

Pour l', on a :

W₀ =

comparé (pour a = 0.05) à :

W_a =

donc on l'hypothèse de normalité du contenu ?

Remarque : la table ne donne les valeurs des a_i que pour i £ + 1 , les autres s'en déduisent par symétrie comme pour l'exemple précédent : a_n = - a₁ ; a_n-1 = - a₂ , etc ...

On peut alors calculer :

- S x_i a_i = ( x_n - x₁ ) | a₁ | + ( x_n-1 - x₂ ) | a₂ | + ... sur la moitié des termes.

Il existe aussi des tests paramétriques de normalité, basés sur les coefficients de symétrie et d'aplatissement :

Le coefficient de symétrie , coefficient sans unité, est nul dans le cas d'une distribution symétrique, positif si elle est étalée à droite et négatif si elle est étalée à gauche (ici s² = S ( x_i - )² )

C'est une valeur approchée de

qui vaut si X est gaussienne.

Le coefficient d'aplatissement, coefficient sans unité, mesure le plus ou moins grand aplatissement de la distribution.

C'est une valeur empirique de , qui vaut 3 dans le cas gaussien.

Sur l' on a :

b₁ =

b₂ =

On obtient des tests puissants en comparant b₁ et b₂ à des valeurs critiques, obtenues par des tables ou

afin de dire si la distribution est ou non significativement différente d'une loi de Gauss, mais uniquement du point de vue de la forme : symétrie ou aplatissement.

Pour l'exemple des bouteilles, y-a-t-il une différence significative ?

Sur l'exemple des câbles, on trouve b₁ = 0.49 et b₂ = 3.61.

La répartition peut-elle être considérée comme normale ?

Enfin, comme toujours, pour tous les tests d'ajustement, ce n'est pas parce qu'on ne rejette pas une hypothèse de loi qu'elle est vraie ; d'autres distributions peuvent aussi bien être ajustées, il peut y avoir d'autres considérations (biologiques, physiques, économiques ou autres) en faveur de telle ou telle loi.