Vous pouvez accéder par ce menu aux définitions et résultats concernant les lois vues dans la partie Développement, et les théorèmes de convergence.
Loi uniforme Loi exponentielle Loi normale centrée réduite Loi normale N ( m , s ) Théorème central limite Convergence des lois binomiales et de Poisson vers la loi normale Autres lois
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Loi uniforme :
X suit une loi uniforme sur [ a , b ] si sa fonction de densité est constante sur [ a , b ] et nulle ailleurs :
Sa fonction de répartition est linéaire sur [ a , b ] :
La probabilité pour que X appartienne à un intervalle contenu dans [ a , b ] est proportionnelle à la longueur de cet intervalle.
Si X et Y sont uniformes et indépendantes, X + Y ne suit pas une loi uniforme (voir Exercice 1).
Loi exponentielle :
X suit une loi exponentielle de paramètre l ( nombre réel > 0 ) si sa fonction de densité est :
C'est le cas notamment si X représente la durée de vie d'un matériel qui ne "vieillit" pas.
Sa fonction de répartition est :
Son espérance et sa variance sont :
Le paramètre l représente donc l'inverse de la valeur moyenne de X.
La somme de deux variables indépendantes de loi
exponentielle ne suit pas une loi exponentielle.
Loi normale centrée réduite :
X est une variable aléatoire de loi normale ("de Laplace-Gauss") centrée réduite si sa fonction de densité est :
C'est une fonction paire, de courbe représentative "en cloche".
La fonction de répartition de X, qui ne s'écrit pas de façon simple, est tabulée.
On la notera F ou P.
Comme f est paire :
Les probabilités d'événements de la forme : X < x , X > x , X Î [ a , b ], etc... se calculent à partir de la table.
Loi normale N ( m , s ) :
X est une variable aléatoire de loi N ( m , )
si est de loi normale centrée réduite.
Sa fonction de densité et sa fonction de répartition se déduisent de celles de N ( 0 , 1 ).
Par exemple :
F étant la fonction de répartition de N ( 0 , 1 ) tabulée, notée aussi P.
Si X et Y suivent des lois N ( m1, 1 ) et N ( m2, 2 ),
alors a X + b Y suit une loi N ( m , ) où :
Toute combinaison linéaire de lois normales est une loi normale.
Si X et Y suivent 2 lois normales, et que X et Y sont non corrélées, elles sont indépendantes.
Théorème central limite :
Les lois de Laplace-Gauss sont les lois continues les plus fréquemment utilisées en statistique, en partie à cause du théorème central limite :
si X1 , X2 , ... , Xn ,... sont des variables aléatoires indépendantes, de même loi, d'espérance µ et d'écart-type , alors, quand n ® ¥ , la loi de :
tend vers la loi N ( 0 , 1 ).
Concrètement, si une variable X est le résultat d'une addition d'un grand nombre de phénomènes aléatoires indépendants, X suit dans de nombreux cas (approximativement au moins) une loi normale.
C'est la cas par exemple :
- du diamètre de pièces fabriquées en série,
- de la fluctuation des ventes d'un produit autour de la moyenne,
etc...
Convergence des lois binomiale et de Poisson vers la loi normale :
Si X suit une loi B ( n , p ) et que n ® ¥ , la loi de :
Concrètement, si X suit une loi B ( n , p ) avec np > 18, on peut approximer la loi de X par N ( np , ) ; loi normale de même espérance et même variance que X.
De même, si X suit une loi P ( l ) avec l > 18, on peut approximer la loi de X par N ( l , ) ; loi normale de même espérance et même variance que X.
Pour procéder à ces approximations, on peut utiliser une correction de continuité, en ajoutant ou retranchant 0.5, selon que les inégalités sont au sens large ou au sens strict.
Autres lois :
Il existe d'autres types de lois de probabilité continues utiles en statistique que nous n'avons pas étudiées ici :
- les lois de Student
- les lois de c²
- les lois de Fisher-Snédécor
Ces lois ne sont utilisées que par l'intermédiaire de tables semblables à celles dont nous disposons pour N ( 0 , 1 ) ; elles seront vues dans les modules "Echantillonnage - Estimation" et "Tests".