Quiz 1B : Optimisation de la formulation d’aliments pour animaux

Durée : environ 10 minutes

« Une entreprise d’alimentation animale produit des concentrés destinés aux bovins à partir de différents types d’ingrédients : protéagineux (pois), céréales (maïs) et tourteaux (de soja).

Les concentrés obtenus doivent avoir une teneur garantie minimale en MAT (matières azotées totales) et en matières grasses et une teneur maximale garantie en matières minérales et cellulose brute.

Teneurs minimales garanties	MAT (g/kg)	Matières grasses (g/kg)
Concentré	200	25

Teneurs maximales garanties	Matières minérales (g/kg)	Cellulose brute (g/kg)
Concentré	70	65

Chaque ingrédient a une teneur connue en chacun de ces composés.

Teneurs	MAT (g/kg)	Matières grasses (g/kg)	Matières minérales (g/kg)	Cellulose brute (g/kg)
Maïs	81	37	12	22
Pois	207	10	30	52
Tourteau de soja	453	19	64	60

Le coût du maïs est de 148€/T, celui des pois 195€/T et celui des tourteaux de soja de 355€/T. »

Source : P. Haurez, Utilisation des protéagineux dans l’alimentation des bovins viande, synthèse réalisée par l’Institut de l’Elevage, 2002.

Il est possible d’écrire un modèle de programmation linéaire permettant de déterminer la formulation optimale du kilo de concentré de façon à respecter les teneurs garanties tout en minimisant les coûts de production.

Réfléchissez à ce que pourrait être ce programme linéaire et répondez aux questions :

Comment écrire de façon algébrique la phrase « l’objectif de l’entreprise est de minimiser ses couts de production » ?

Min C = (148M+195P+355T)/1000

Min C = (P+M+S)/1000

Max C = (148M+195P+355T)/1000

L’équation des minéraux dit que la teneur totale en minéraux par unité de concentré doit être au maximum égale à la teneur garantie et s’écrit :

12M+30P+64T ≤ 70

12M+30P+64T = 70

12M+30P+64T ≥ 70

L’équation des MAT dit que la teneur totale en MAT par unité de concentré doit être au moins égale à la teneur minimale garantie et s’écrit :

200*(P+M+T) ≥ 81+207+453

81M+207P+453T ≥ 200

M+T+P = 200

L’équation des matières grasses dit que la teneur totale en matières grasses par unité de concentré doit être au moins égale à la teneur minimale garantie et s’écrit :

25*(M+P+T) ≥ 37+10+19

P+M+T ≥ 25

37M+10P+19T ≥ 25

L’équation de la cellulose dit que la teneur totale en cellulose par unité de concentré doit être inférieure ou égale à la teneur maximale garantie et s’écrit :

P+M+T = 65

22M+52P+60T ≥ 65

22M+52P+60T ≤ 65

Comment écrire qu’il faut que la quantité totale des ingrédients fasse un kilo ?

P+M+T = 1

P = 1 ; M = 1 ; T = 1

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Questions:

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Teneurs minimales garanties	MAT (g/kg)	Matières grasses (g/kg)
Concentré	200	25

Teneurs maximales garanties	Matières minérales (g/kg)	Cellulose brute (g/kg)
Concentré	70	65

Chaque ingrédient a une teneur connue en chacun de ces composés.

Teneurs	MAT (g/kg)	Matières grasses (g/kg)	Matières minérales (g/kg)	Cellulose brute (g/kg)
Maïs	81	37	12	22
Pois	207	10	30	52
Tourteau de soja	453	19	64	60

Le coût du maïs est de 148€/T, celui des pois 195€/T et celui des tourteaux de soja de 355€/T. »

Source : P. Haurez, Utilisation des protéagineux dans l’alimentation des bovins viande, synthèse réalisée par l’Institut de l’Elevage, 2002.

Réfléchissez à ce que pourrait être ce programme linéaire et répondez aux questions : cliquez sur « Démarrez le quiz »

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En notation mathématique, ce problème peut s’écrire :

Minimiser   C = 148M + 195P + 355T

avec       M + P + T = 1
              81M + 207P + 453T ≥ 200               (contrainte des MAT)
              37M + 10P + 19T ≥ 25                   (contrainte des matières grasses)
              12M + 30P + 64T ≤ 70                     (contrainte des minéraux)
              22M + 52P + 60T ≤ 65                     (contrainte de la cellulose)

M ≥ 0 ; P ≥ 0 ;T ≥ 0

où         C           coût des concentrés (euros)
               M           la quantité de maïs qui sera mise dans les concentrés
               P           la quantité de pois qui sera mise dans les concentrés
               T           la quantité de tourteaux de soja qui sera mise dans les concentrés

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Question 1 sur 6

1. Question
« Une entreprise d’alimentation animale produit des concentrés destinés aux bovins à partir de différents types d’ingrédients : protéagineux (pois), céréales (maïs) et tourteaux (de soja).

Les concentrés obtenus doivent avoir une teneur garantie minimale en MAT (matières azotées totales) et en matières grasses et une teneur maximale en matières minérales et cellulose brute.

Teneurs minimums MAT (g/kg) Matières grasses (g/kg)

Concentré 200 25

Teneurs maximales Matières minérales (g/kg) Cellulose brute (g/kg)

Concentré 70 65

Chaque ingrédient a une teneur connue en chacun de ces composés.

Teneurs MAT (g/kg) Matières grasses (g/kg) Matières minérales (g/kg) Cellulose brute (g/kg)

Maïs 81 37 12 22

Pois 207 10 30 52

Tourteau de soja 453 19 64 60

Le coût du maïs est de 148€/T, celui des pois 195€/T et celui des tourteaux de soja de 355€/T. »

Source : P. Haurez, Utilisation des protéagineux dans l’alimentation des bovins viande, synthèse réalisée par l’Institut de l’Elevage, 2002.

Il est possible d’écrire un modèle de programmation linéaire permettant de déterminer la formulation optimale du kilo de concentré de façon à respecter les teneurs garanties tout en minimisant les coûts de production.

Soit C le coût des concentrés (euros)
       M la quantité de maïs qui sera mise dans un kg de concentré (en kg)
       P la quantité de pois qui sera mise dans un kg de concentré (en kg)
       T la quantité de tourteaux qui sera mise dans un kg de concentré (en kg)

Comment écrire de façon algébrique la phrase « l’objectif de l’entreprise est de minimiser ses couts de production » ?
- Min C = (P+M+S)/1000
- Min C = (148M+195P+355T)/1000
- Max C = (148M+195P+355T)/1000
Exact

Inexact

On sait que « le coût du mais est de 148€/T, celui des pois 195€/T et celui des tourteaux de soja de 355€/T. ». Si C représente le coût par kilo, M la quantité de mais qui sera mise dans les concentrés, P la quantité de pois qui sera mise dans les concentrés et T la quantité de tourteaux qui sera mise dans les concentrés, alors on a C = (148M+195P+355T)/1000. De plus on sait que notre objectif est de MINIMISER le coût donc on écrit Min C = (148M+195P+355T)/1000.
Question 2 sur 6

2. Question
L’équation des minéraux dit que la teneur totale en minéraux par unité de concentré doit être au maximum égale à la teneur garantie et s’écrit :
- 12M+30P+64T ≤ 70
- 12M+30P+64T ≥ 70
- 12M+30P+64T = 70
Exact

Inexact

La teneur en minéraux ne doit pas être trop élevée. Elle doit être INFERIEUR OU EGALE à la teneur maximale garantie. On a donc, 12M+30P+64T ≤ 70.
Question 3 sur 6

3. Question
L’équation des MAT dit que la teneur totale en MAT par unité de concentré doit être au moins égale à la teneur minimale garantie et s’écrit :
- 200*(P+M+T) ≥ 81+207+453
- 81M+207P+453T ≥ 200
- M+T+P = 200
Exact

Inexact

Pour avoir la teneur totale, on multiplie les quantités de matières premières par leur teneur. C’est-à-dire, 81*M+207*P+453*S. Cette teneur totale doit être supérieur ou égale à la teneur minimum garantie.
Question 4 sur 6

4. Question
L’équation des matières grasses dit que la teneur totale en matières grasses par unité de concentré doit être au moins égale à la teneur minimale garantie et s’écrit :
- 37M+10P+19T ≥ 25
- P+M+T ≥ 25
- 25*(M+P+T) ≥ 37+10+19
Exact

Inexact

Pour chaque matière première, il faut multiplier sa quantité par sa teneur en matières grasses. Cette teneur totale doit être supérieur ou égale à la teneur minimale garantie.
Question 5 sur 6

5. Question
L’équation de la cellulose dit que la teneur totale en cellulose par unité de concentré doit être inférieure ou égale à la teneur maximale garantie et s’écrit :
- 22M+52P+60T ≥ 65
- P+M+T = 65
- 22M+52P+60T ≤ 65
Exact

Inexact

Pour chaque matière première, il faut multiplier sa quantité par sa teneur en cellulose. Cette teneur totale doit être inférieure ou égale à la teneur maximale garantie.
Question 6 sur 6

6. Question
Comment écrire qu’il faut que la quantité totale des ingrédients fasse un kilo ?
- P+M+S = 1
- P = 1 ; M = 1 ; S = 1
Exact

Inexact

C’est la quantité TOTALE qui doit être égale à un kilo ! Si M la quantité de mais qui sera mise dans les concentrés, P la quantité de pois qui sera mise dans les concentrés et T la quantité de tourteaux qui sera mise dans les concentrés, alors on a M+P+T = 1

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